圆盘线圈自、互感的闭式解及其自感最优值朱润杭，赵雅婷武汉大学 电气与自动化学院，湖北 武汉 430072摘 要圆盘线圈是近年来兴起的无线能量传输系统中能量耦合的核心元件。通过引入广义超几何函数pFq将圆盘线圈的自感积分表达式化为闭式。类似地，通过建立完全椭圆积分与广义超几何函数之间的联系将同轴共面圆盘线圈的互感化为闭式。这些闭式解使上述电感计算问题不再需要数值积分。进一步，基于所得闭式解，分析了圆盘线圈的GPW（given piece of wire）优化问题，得到了给定导线所能绕制的圆盘线圈自感最大值，且达到最大值的圆盘线圈外半径与内半径之比是一个与导线几何参数无关的常数。数值计算表明所得公式与已有方法所得结果一致性较好。关键词圆盘线圈；自/互感；广义超几何函数；完全椭圆积分；GPW优化问题中图分类号 TM12；TM153 文献标志码 A DOI 10.11930/j.issn.1004-9649.2018040350 引言空心圆形线圈是电工与电子技术中经常使用的元件，例如在集成电路、防止过电压或短路电流损害的保护电路或滤波器中[1]，各种形式的空心圆形线圈通常是电路中必须采用的元件。此类线圈一般有两种实现形式，即圆柱形线圈和圆盘形线圈。在实际应用中，这些线圈的自、互感值往往是最重要的电路参数，已有大量文献对其进行过详细研究[1-19]。对于单层圆柱线圈，其自感值可由完全椭圆积分或勒让德（Legendre）函数表为闭式；对于圆盘线圈，其自感值需以数值积分或级数求得。数值积分的存在对于理论分析和实际应用均为一个主要障碍。另一方面，从应用角度来看，在近年来兴起的无线能量传输系统中，圆盘线圈往往是能量耦合的核心元件，因此针对圆盘线圈电感的研究具有很强的实用意义[20-28]。为了使平面圆盘线圈的自、互感计算能以闭式实行，本文以广义超几何函数表出圆盘线圈自感的闭式解，考虑到这一方法亦适用于同轴共面圆盘线圈的互感，亦将给出此种情形下圆盘线圈的互感闭式解。最后分析给定长度和截面积的导线绕制圆盘线圈时所能达到的最大自感值。这一问题的研究对无线能量传输线圈的效率提升具有较强的实际意义。分析表明，对于一根任意长度和截面积的导线，当其绕制的圆盘线圈自感达到最大值时，该线圈的外半径R2和内半径R1之比α为一个常数。1 圆盘线圈自、互感的已知表达式设空心圆盘线圈匝数为N，内半径为R1，外半径为R2，其轴向长度可忽略。将其置于极坐标中，线圈中心取为坐标原点，则线圈中任意两点P1r1, φ1，P2r2, φ2间的距离为r √r21 r22 2r1r2cosφ2 φ1（1）圆盘线圈的自感为L 04 I2xxJr1 Jr2r dS1dS2（2）式中μ0为真空磁导率；J为线圈中的电流密度；I为流过线圈的电流；S1，S2为位置矢量r1，r2所指向的面积元；积分区域为线圈导线所在空间。在柱坐标中可化为三重积分，即L 0N2R2 R12w 0 cosφdφwR2R1 r1dr1 wR2R1r2dr2√r21 r22 2r1r2cosφ（3）收稿日期2018−04−13； 修回日期2018−09−24。基金项目国家自然科学基金资助项目互感耦合多调谐无源电力滤波器技术原理与设计方法研究，51507115。第 52 卷 第 8 期中国电力Vol. 52, No. 82019 年 8 月ELECTRIC POWER Aug. 201971其中，φ|φ2－φ1|。推导式（2）时假定线匝有无限薄的绝缘层并紧密地充满整个绕组空间，且电流密度在线圈截面上均匀分布。类似地，两个同轴共面圆盘线圈间的互感为M 0N1N2R2 R1R4 R3w 0 cosφdφwR2R1 r1dr1 wR4R3r2dr2√r21 r22 2r1r2cosφ（4）式中一个线圈的匝数、内半径、外半径分别为N1、R1、R2，另一个线圈的对应参数分别为N2、R3、R4。文献[2]中对式（3）积分的结果分为单重积分表达式和级数表达式两类。在文献[3]中，圆盘线圈的自感为L 2 0N2R13 124∑i0Ii（5）式中αR2/R1为线圈的形状参数；I0I4为5项单重积分。文献[3-4]中有类似的自感表达式。在文献[5]中，圆盘线圈自感广义积分为L 3 0N24R21 12w101k2[f R1;k f R1;k]2dk（6）其中f r;k r[J1krH0kr J0krH1kr]式中Jnx为n阶Bessel函数；Hnx为n阶Struve函数。此类表达式的被积函数在0, ∞区间上缓慢振荡衰减而使其数值积分的收敛特性不佳。在文献[6]中，圆盘线圈的自感为L 4 0N2R13 12[3w11aK Edk w11aK Ek3 dk]（7）式中K，E分别为模数k的第1类和第2类完全椭圆积分[6]。进一步由式（7）给出自感的级数表达式为L 2 0N2R13 128 3266666642G 1 1∑n04nun2n 12n1 2n137777775 ln22G 1 4 2 ln 1∑n12n1un2nn1 2n9;（8）其中，un 82[2n 12n]n＞02 n 0G0.915 965 594 为Catalan常数。自感表达式（5）（7）均需借助数值积分。在这些表达式中，式（7）最为清晰地给出了圆盘线圈自感表达式的结构。由式（7） 可知，该线圈自感包含一类无法以初等函数求积的积分。另一方面，式（8）的级数解在应用时仍不够方便，尤其是在理论分析时，最好以闭式解表出线圈自感。考虑到式（8）实际上已完成了对式（7）的积分，故寻求圆盘线圈自感闭式解的最简单的途径应为直接从式（8）出发对其中的级数表达式进行变形。文献[4,7]中对式（4）的积分结果分为2类，即以Bessel函数和Struve函数表达的互感[4]和以完全椭圆积分表达的互感[7]。由于文献[4]中表达式的被积函数是一个在0, ∞区间上的振荡积分故其数值收敛较慢，因而以下仅介绍文献[7]中的互感表达式。文献[7]中对两个同轴共面圆盘线圈（R1＜R2＜R3＜R4）给出的互感为M 4 0N1N23R2 R1R4 R3[R34wR2R4R1R4 K Edk R33wR2R3R1R3 K EdkR32wR2R3R2R4K Ek3 dk R31wR1R3R1R4K Ek3 dk]（9）以下将以式（9）为基础推出同轴共面圆盘线圈互感的闭式解。2 圆盘线圈自、互感的闭式解以下基于圆盘线圈的自/互感表达式（8）和（9），做适当解析变换，利用广义超几何函数将其转化为闭式解。2.1 广义超几何函数简介广义超几何函数pFq在数学和其他科学分支中占有突出地位，它以幂级数展开的形式引入，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。数学物理中的多种特殊函数都是广义超几何函数的特例或者极限情形，例如勒让德函数（Legendrefunction），贝塞尔函数（Bessel function），完全椭圆积分（complete elliptic integrals）等。广义超几何函数的运用十分广泛，涉及非牛顿流体的管中国电力第 52 卷72道流量–压差关系、量子力学中氢原子的电子径向波函数求解、等离子体中粒子的能量分布计算等。广义超几何函数的级数定义为pFq a1; ;apb1; ;bq ;z1∑n0a1n apnb1n bqnznn（10）式中apn为波赫哈默尔符号Pochhammer；bqn类似；以Γ函数的形式定义为apn apnap { 1 n 0;ap 2Cnf0gapap1apn 1n 2N;ap 2C2.2 以广义超几何函数表示圆盘线圈的自感根据式（10） 定义，可将式（8）进行适当变换。考虑到递归关系为un un 12n 12n2（11）则式（8）右边的第1个级数可化为1∑n04nun4n2 1 2n1 6 3 3F212;32;32;2;52;12（12）类似地可将式（8）中第二个级数化为1∑n1un2n12nn1 2n 3 32 2 4F31;1; 32; 52;2;2;3; 1 2（13）将式（12）和（13）代入式（8）即可得M 4 0N1N23R2 R1R4 R3[R34wR2R4R1R4 K Edk R33wR2R3R1R3 K EdkR32wR2R3R2R4K Ek3 dk R31wR1R3R1R4K Ek3 dk]（14）式（14）已将圆盘线圈自感表示为闭式，由此可对圆盘线圈的自感展开进一步分析。2.3 以广义超几何函数表示同轴共面圆盘线圈的互感因为2类完全椭圆积分均可化为超几何函数[8]，故可在此以类似的思路对式（9）进行变换。由8Kk 2 2F112;12;1;k2Ek 2 2F112; 12;1;k2（15）可得8wK Edk k312 3F212;32;32;2;52;k2F1kw K Ek3 dk 4{3k216 4F31;1; 32; 52;2;2;3;k2ln 1k} F2k（16）从而可将式（9）变为M 4 0N1N23R2 R1R4 R3{R34[F1R2R4 F1R1R4] R33[F1R2R3 F1R1R3]R32[F2R2R3 F2R2R4] R31[F2R1R3 F2R1R4]}（17）式（17）即为同轴共面圆盘线圈互感的闭式解。具体计算过程可参考本文2.2节圆盘线圈自感计算过程。3 GPW问题中平面圆盘线圈自感的最大值根据实际工程经验，一般采用矩形截面导线来绕制大型圆盘线圈，这将使圆盘线圈制作方便，不易松散变形。设有一给定导线，其长度为l，截面均匀且为一矩形，截面积为sw1w2，现以此导线绕制圆盘线圈，绕制时相邻线匝间不留空隙且忽略绝缘层厚度，现考察是否有一组线圈参数（N，R1，R2）可使所得自感取到最大值。此为GPW（given piece of wire）优化问题，最早由Gauss和Maxwell研究过[9-10]。此问题对单层圆柱线圈和矩形截面圆柱线圈已有结果见文献[11-12]，但对于圆盘线圈仍未有明确结论见于文献中。设绕制线圈时以导线截面的w2边作为相邻边，则对圆盘线圈将视w2→0，故有8N 1w1R1R1 √lw1 2 1（18）记LNαL/N2R1，则由（18）可得L 1w112[ l 1]32LN （19）第 8 期 朱润杭等圆盘线圈自、互感的闭式解及其自感最优值73故有dL d 0l√lw1 2 148 32w1 2 12f （20）其中f 16 3F212;32;32;2;52;123[3 4F31;1; 32; 52;2;2;3; 1 28 24 4 8G1 2 ln4 ]若有fα0，则有dLα/dα0。以数值法解fα0，得到0 2296 956 030 688又因d2L d 2 0l48 32 2 2 14√2 1lw1 g （21）其中g 24 2[4 2 41 1 3 28G1 1 3 2] {482 122F112;32;2;121623 23F212;32;32;2;52;12314 2[34F31;1; 32; 52;2;2;3; 1 216 2ln4 ]}故有gα0 ＜0，从而d2L 0d 20＜0故α0为Lα的极大值点，进一步可验证α0为Lα的最大值点。于是可以得到圆盘线圈自感最大值为Lmax h 0√l3w1 0131 474 286√l3w1（22）其中h 0 0 112[ 1 01]32LN 0式中l，w1单位为m。实际上，对于无线能量传输系统中的圆形截面线圈，为降低高频下的趋肤效应，常使用Litz线来绕制使得电流尽可能地分布均匀[13]。此种分布特性与本文第1节假设的前提条件一致，因此对于此类线圈，可将导线的圆形截面直径2r等效为矩形截面的w1边，利用式（14）和（17）计算其自/互感，此时关于GPW优化问题的结论同样适用。4 数值计算与验证现将本文导出的公式与已有文献数据进行比较以验证其正确性。由式（14）算得的圆盘线圈自感值与已有文献数据比较如表1。表1中求得的是归一化自感L/N2R1之值，第二列中部分数值文献[3]中并未给出，此处以文献[3]中式（3）进行计算并将结果补全于表1中。表1显示本文公式（14）与文献中已有公式计算结果高度一致。对第3节中GPW优化问题的函数hα绘制函数图，如图1所示。图1直观地显示了优化函数hα的极值特点，当圆盘线圈的外半径R2与表 1 圆盘线圈自感值与已有文献的比较Table 1 Comparison of the self-inductance of disk coils between literatures and this paperα线圈自感值/μHm–1文献 [3]文献 [4]本文式141.5 3.937 556 957 3 3.937 556 957 309 482 3.937 556 957 309 4823.0 4.120 247 770 9 4.120 247 770 949 785 4.120 247 770 949 7864.0 4.653 592 975 5 4.653 592 975 459 867 4.653 592 975 459 8677.0 6.544 182 694 2 6.544 182 694 169 380 6.544 182 694 169 3819.0 7.879 438 694 9 7.879 438 694 940 537 7.879 438 694 940 53819.0 14.739 648 242 0 14.739 648 241 530 497 14.739 648 241 530 49739.0 28.626 776 899 0 28.626 776 899 463 686 28.626 776 899 463 683中国电力第 52 卷74内半径R1之比α取2.297时，优化函数hα取得最大值，约为0.131 5，与第3节中数值分析的结论一致。根据式（22），当给定一段导线时（即给定几何参数l，w1），其所能绕制的圆盘线圈自感最大值也随即确定。由图1可以看出，当α较小时（即小于α0），优化函数hα对α的变化很敏感。而当α较大时（即大于α0），优化函数hα随α的变化稍小。因此在实际工程中，可将给定几何参数的圆盘线圈外半径与内半径的比值取2.02.5 （此时可保证hα的下降程度不超过其最大值的2.5），这将会得到一个较高的自感值。从而有效提高了导线利用率，即可以通过改进圆盘线圈的几何构造来提高无线能量传输系统的效率。表2中求得的是归一化互感M/N1N2之值。其结果显示式（17）与文献[7]中已有式（9）计算结果高度一致，且式（17）由于采用了闭式解，故其计算耗时较式（9）大幅缩短。5 结论圆盘线圈的自感可借助广义超几何函数闭式表出。同轴共面圆盘线圈的互感也可类似地闭式求出。这些闭式解避免了传统公式中所需的数值积分因而非常有利于数值计算，且数值结果表明所得闭式与已有文献中的公式结果高度一致。由所得闭式，可解析地分析给定一段导线所能绕制的圆盘线圈自感最大值。分析表明，对于一段矩形截面导线，该自感最大值与导线长度l的3/2次方成正比，与导线截面平行于线圈径向的边长w1的1/2次方成反比，且此时线圈的外半径与内半径之比是一个与导线几何参数无关的常数α0 ≈2.297。这一结果亦可用于无线能量传输系统中的Litz线圆盘线圈，从而为此类线圈制造时，提高导线的利用率提供了可靠的依据，对无线能量传输系统中线圈效率的提高具有较好的指导意义。参考文献SCHIEBER D. On the inductance of printed spiral coils[J]. ArchivFr Elektrotechnik, 1985, 68 155–159.[1]YU D, HAN K S. Self-inductance of air-core circular coils withrectangular cross-section[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1987,236 3916–3921.[2]BABIC S, AKYEL C. An improvement in the calculation of the self-inductance of thin disk coils with air-core[J]. WSEA Transaction onCircuits and Systems, 2004, 38 1621–1626.[3]表 2 同轴共面圆盘线圈互感值与已有方法的比较Table 2 Comparison of the mutual inductance of coaxial coplanar disk coils between published and this paperRi/m线圈互感值/μHm–11 2 3 4式9本文式170.1 0.2 0.4 0.6 0.195 456 854 175 242 0.195 456 854 175 2420.5 1.0 2.0 4.0 0.827 158 110 890 106 0.827 158 110 890 1061.0 2.0 3.0 4.0 2.918 046 751 489 720 2.918 046 751 489 7202.0 4.0 6.0 8.0 5.836 093 502 979 441 5.836 093 502 979 4412.5 5.5 6.5 9.5 9.755 727 967 490 371 9.755 727 967 490 3714.0 6.0 7.0 10.0 14.344 952 122 415 313 14.344 952 122 415 313 7.0 8.5 9.0 11.5 32.623 737 908 030 043 32.623 737 908 030 043 10.0 12.0 14.0 16.0 42.686 504 526 913 979 42.686 504 526 913 979 0.131 390.131 150.1300.1280.1260.1240.122hα/μHm−12 2.5 4 6 8 10αR2/R12.297, 0.1315图 1 平面圆盘线圈GPW优化问题函数 h（ α ）的极大值Fig. 1 The maximum value of function h（α）of theGPW optimization problem of the disk coils第 8 期 朱润杭等圆盘线圈自、互感的闭式解及其自感最优值75CONWAY J. Inductance calculations for noncoaxial coils usingBessel functions[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2007, 4331023–1034.[4]罗垚, 陈柏超. 空心矩形截面圆柱线圈自感计算的新方法[J]. 电工技术学报, 2012, 276 1–5.LUO Y, CHEN B C. New for self-inductance calculations ofair-core circular coils with rectangular cross-sections[J]. Transactionsof China Electrotechnical Society, 2012, 276 1–5.[5]SPIELREIN J. Die induktivitt eisenfreier kreisringspulen[J]. Archivfr Elektrotechnik, 1915, 37 187–202.[6]MLLER K F. Berechnung der induktivitt von spulen[J]. Archiv frElektrotechnik, 1926, 17 341–347.[7]OLVER F W, LOZIER D W, BOISVERT R F, et al. NIST handbookof mathematical functions[M]. Cambridge University Press, 2010.[8]GAUSS C F. Gauss C F-Werke Banden[M]. Gttingen, 1863 444-447.[9]MAXWELL J C. A treatise on electricity and magnetism[M].Oxford Oxford University, 1892.[10]MURGATROYD P N. The Brooks inductor a study of optimalsolenoid cross-sections[J]. IEE Proceedings, 1986, 1335 309–314.[11]MURGATROYD P N. The optimal for coreless inductors[J].IEEE Transactions on Magnetics, 1989, 253 2670–2677.[12]NAN X, SULLIVAN C R. An equivalent complex permeabilitymodel for Litz-wire windings[J]. IEEE Transactions on IndustryApplications, 2009, 452 854–860.[13]LUO Y, CHEN B C. Improvement of self-inductance calculations forcircular coils of rectangular cross section[J]. IEEE Transactions onMagnetics, 2013, 493 1249–1255.[14]LUO Y, WANG X W, ZHOU X L. Inductance calculations forcircular coils with rectangular cross section and parallel axes usinginverse Mellin trans and generalized hypergeometricfunctions[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2017, 3221367–1374.[15]罗垚. 平行轴圆柱线圈互感计算的新方法[J]. 电工技术学报,2016, 312 31–37.LUO Y. New approach for the mutual inductance calculations of thecircular coils with parallel axes[J]. Transactions of ChinaElectrotechnical Society, 2016, 312 31–37.[16]CONWAY J. Exact solutions for the mutual inductance of circularcoils and elliptic coils[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2011,481 81–94.[17]PANKRAC V. Generalization of relations for calculating the mutualinductance of coaxial coils in terms of their applicability to non-coaxial coils[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2011, 4711[18]4552–4563.BABIC S, SALON S. The mutual inductance of two thin coaxial diskcoils in air[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 402822–825.[19]CONWAY J. Inductance calculations for circular coils of rectangularcross section and parallel axes using Bessel and Struve functions[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2009, 461 75–81.[20]ACERO J, CARRETERO C, Lope I, et al. Analysis of the mutualinductance of planar-lumped inductive power transfer systems[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2012, 601 410–419.[21]CANNON B L, HOBURG J F, STANCIL D D, et al. Magneticresonant coupling as a potential means for wireless power transfer tomultiple small receivers[J]. IEEE Transactions on Power Electronics,2009, 247 1819–1825.[22]SAMPLE A P, MEYER D T, SMITH J R. Analysis, experimentalresults, and range adaptation of magnetically coupled resonators forwireless power transfer[J]. IEEE Transactions on Power Electronics,2011, 582 544–554.[23]ZHEN N L, CHINGA R A, TSENG R, et al. Design and test of ahigh-power high-efficiency loosely coupled planar wireless powertransfer system[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009,565 1801–1812.[24]黄辉, 黄学良, 谭林林, 等. 基于磁场谐振耦合的无线电力传输发射及接收装置的研究[J]. 电工电能新技术, 2011, 301 32–35.HUANG H, HUANG X L, TAN L L, et al. Research on transmitterand receiver of wireless power transmission based on magneticresonance coupling[J]. Advanced Technology of ElectricalEngineering and Energy, 2011, 301 32–35.[25]SPIES P, BABEL P. Wireless energy transmission system for low-power devices[C]//Sensors. IEEE, 2008.[26]CONWAY J T. Analytical solutions for the self- and mutualinductances of concentric coplanar disk coils[J]. IEEE Transactionson Magnetics, 2013, 493 1135–1142.[27]王禹潮, 杨庆新, 张献, 等. 电磁耦合谐振式电能传输系统的线圈优化设计与验证[J]. 广东电力, 2018, 3111 93–98.WANG Y C, YANG Q X, ZHANG X, et al. Design and verificationof coil optimization for electromagnetic coupling resonant wirelesspower transmission system[J]. Guangdong Electric Power, 2018,3111 93–98.[28]作者简介朱润杭1995，男，通信作者，硕士研究生，从事电磁场的解析计算研究，E-mail ；中国电力第 52 卷76赵雅婷1998，女，本科，从事无源电力滤波器的设计及研究，E-mail 。（责任编辑 张重实）Closed Expressions of Self and Mutual Inductance of Disk Coils and theOptimal Value of Self-InductanceZHU Runhang, ZHAO YatingSchool of Electrical Engineering and Automation, Wuhan University, Wuhan 430072, ChinaAbstract The disk coils are the core element of energy coupling of the wireless power transmission system blooming in recent years.By introducing generalized hypergeometric functions pFq, the integral expression of self-inductance of disk coils is transed into aclosed . Similarly, the closed expression of mutual inductance of coaxial coplanar disk coils is obtained by establishing arelationship between the complete elliptic integrals and generalized hypergeometric functions. These closed solutions canbypass the numerical integration of traditional s for the inductance calculations. Furthermore, based on the obtained closed solution the GPW given piece of wire optimization problem is analyzed and the maximum value of self-inductance is foundfor disk coils which are wound by a piece of given wire. It is also revealed that the ratio of the outer and inner radii of the optimaldisk coils is independent of the geometric parameters of winding wires. Numerical results show the high consistency betweenexisting s and s proposed in this paper.This work is supported by National Natural Science Foundation of China Research on technology principle and design ofmutual inductance coupled multi-tuned passive power filter, No.51507115.Keywords disk coils; self and mutual inductance; generalized hypergeometric functions; complete elliptic integrals; GPWoptimization problem上接第70页作者简介李正红1983，男，硕士，高级工程师，从事电力系统继电保护和运行控制研究，E-mail ；冯宝成1981，男，通信作者，硕士，工程师，从事电力系统继电保护和运行控制研究，E-mail 。（责任编辑 张重实）Research and Application of Regional Power Grid Auto Transfer System for thePetal-Shape Distribution Networks based on HSR NetworkLI Zhenghong1, DING Xiaobing1, FENG Baocheng2, JIN Zhen2, HOU Wei21. China Southern Grid Co., Ltd., Guangzhou 510663, China; 2. NR Engineering Co., Ltd., Nanjing 211102, ChinaAbstract In the petal-shape regional distribution network, the fast power recovery cannot be realized with the traditional autotransfer system when a power failure occurs at the non-standby-switch room. To solve t