碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存控制策略.pdf

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碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存控制策略.pdf

第２４卷第３期运筹与管理Ｖｏｌ．２４，Ｎｏ．３２０１５年６月ＯＰＥＲＡＴＩＯＮＳＲＥＳＥＡＲＣＨＡＮＤＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴＳＣＩＥＮＣＥＪｕｎ．２０１５收稿日期２０１４  ０３  ０７基金项目国家自然科学基金项目（７０８７２０１９）；辽宁省教育厅人文社科基地项目（ＺＪ２０１３０１４）作者简介戢守峰（１９５８  ），男，辽宁沈阳人，东北大学教授，博士生导师，研究方向物流系统建模与优化、物流与供应链管理。碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存控制策略戢守峰１，蓝海燕１，２，唐金环１，朱宝琳１（１．东北大学工商管理学院，辽宁沈阳１１０００４；２．辽宁工业大学管理学院，辽宁锦州１２１００１）摘要针对制造商订货、储存、生产过程中的碳排放问题，探讨了碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存控制策略，在对碳限额与碳交易进行数学度量的基础上构建了碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存成本模型，并通过模型分析得出有碳约束且成本最优生产量及原材料最大订货倍数以及碳限额与碳交易约束下制造商最优生产  库存策略。计算实验与算例分析表明相比于无碳约束情形，碳限额与碳交易约束下制造商订货数量更高，而订货频率及生产批量更低，并得出三种交易价格之下，决策变量的变化趋势。关键词碳限额与碳交易约束；生产  库存；最优生产量；最大订货倍数；碳价格不确定中图分类号Ｆ２５３文章标识码Ａ文章编号１００７  ３２２１（２０１５）０３  ００５１  ０９ＭａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒｓｏｆＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ＩｎｖｅｎｔｏｒｙＣｏｎｔｒｏｌＳｔｒａｔｅｇｙＵｎｄｅｒＣａｒｂｏｎＣａｐ  ａｎｄ  ＴｒａｄｅｍｅｃｈａｎｉｓｍＪＩＳｈｏｕ  ｆｅｎｇ１，ＬＡＮＨａｉ  ｙａｎ１，２，ＴＡＮＧＪｉｎ  ｈｕａｎ１，ＺＨＵＢａｏ  ｌｉｎ１（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＢｕｓｉｎｅｓｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０００４，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅ  ｍｅｎｔ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｊｉｎｚｈｏｕ１２１００１，Ｃｈｉｎａ）ＡｂｓｔｒａｃｔＦｏｒｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒｓ ’ｃａｒｂｏｎｅｍｉｓｓｉｏｎｓｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｒｄｅｒｉｎｇ，ｓｔｏｒａｇｅａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒｓ ’ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓｏｆｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎｖｅｎｔｏｒｙｃｏｎｔｒｏｌｕｎｄｅｒｃａｒｂｏｎｃａｐ  ａｎｄ  ｔｒａｄｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｃｏｎｓｔｒｕｃｔａｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎｖｅｎｔｏｒｙｃｏｓｔｍｏｄｅｌｕｎｄｅｒｃａｐ  ａｎｄ  ｔｒａｄｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｂａｓｅｄｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｅａｓｕｒｅｏｆｃａｒｂｏｎｃａｐ  ａｎｄ  ｔｒａｄｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ａｎｄｄｅｒｉｖｅｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｑｕａｎｔｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｏｒｄｅｒｍｕｌｔｉｐｌｅｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ  ｒａｗｍａｔｅｒｉａｌｓｗｉｔｈｃａｒｂｏｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓａｎｄｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒ ’ ｏｐｔｉｍｕｍｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎｖｅｎｔｏｒｙｐｏｌｉｃｙ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｗｔｈａｔｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒ ’ ｏｒｄｅｒｑｕａｎｔｉｔｙｉｓｈｉｇｈｅｒ，ａｎｄｔｈｅｏｒｄｅｒｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｂａｔｃｈａｒｅｌｏｗｅｒｕｎｄｅｒｎｏ  ｃａｒｂｏｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，ａｎｄｄｒａｗｔｈｅｃｈａｎｇｅｔｒｅｎｄｏｆｄｅｃｉｓｉｏｎｖａｒｉａｂｌｅｓｗｉｔｈｔｈｅｔｈｒｅｅｔｒａｄｉｎｇｐｒｉｃｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｃａｐ  ａｎｄ  ｔｒａｄｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ；ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ；ｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｑｕａｎｔｉｔｙ；ｍａｘｉｍｕｍｏｒｄｅｒｉｎｇｍｕｌｔｉｐｌｅ；ｃａｒｂｏｎｐｒｉｃｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ０引言碳交易是为促进全球减少温室气体排放，以国际公法作为依据的温室气体排减量交易，在６种被要求排减的温室气体中，二氧化碳（ＣＯ２）为最大宗，为达到全球温室气体减量的最终目的，国际上相关机构约定了３种排减机制清洁发展、联合履行和排放交易［１］。本文以近年来国内外学术界高度关注并极具挑战性，而且已成为企业运作决策时必须考虑的要素之一的碳排放交易为主题，探讨将碳限额与碳交易作为约束条件嵌入到制造商的生产  库存系统中的策略选择问题。迄今为止，国外关于企业生产  库存控制问题的研究主要集中在供应链协同上。例如，Ｓａｎａ研究了存在残次品的三层供应链中的生产  库存模型，模型系统考虑了协同策略下原材料订购量，生产率和各部门的市场战略［２］；Ｊｈａ等用简单启发式研究单卖方多个买方组成的供应链生产与库存系统协调问题等［３］；Ｊｏｎｒｉｎａｌｄｉ等用混合整数规划研究带有逆向物流的四级供应链的订货问题，比较分析了分散决策、半集中决策以及集中决策下的成本差异［４］。而从碳限额与碳交易约束条件下的研究则较为少见。Ｃｈｅｎ等研究了不同碳约束下的企业生产策略模型，结果发现通过恰当的生产运作管理，可以实现以较小的经济成本换取较大的碳排放的减少［５］；Ｄｏｂｏｓ研究了碳排放交易下企业生产  库存运营，认为碳交易能使厂商库存水平升高和增加成本［６］；Ｌｉ等基于Ａｒｒｏｗ  Ｋａｒｌｉｎ动态生产  库存模型研究了银行业在排放交易许可中对制造商生产库存策略的影响，假设有一个排放交易计划，企业可以购买排放权或出售他们的权利，不允许跨期交易，并将得出的最优的生产  库存策略与无排放交易时进行了比较［７］。关于碳交易的研究多集中在宏观层面，而针对企业库存系统减排问题的研究甚少。Ｊｉｒａ等从战略的角度提出针对供应链企业减排的设想，通过对企业的经济分析，认为通过环保运作管理和可持续运作管理的角度可以实现供应链的减排［８］；Ｈｕａ等研究了碳限额与碳交易下企业库存碳足迹的变化，提出了碳约束下的最优订货批量模型［９］；Ｂｏｎｎｅｙ等通过改进经典ＥＯＱ模型，设计了考虑碳排放的库存系统［１０］；Ｗａｈａｂ等研究二级跨国供应链中带有碳约束的订货策略，碳排放来自于前向和后向供应链［１１］；Ｃｈｅｎ等基于报童模型的研究表明监管比自愿控制方法更有利于减少碳排放，但会增加制造商的生产库存水平［１２］。在国内，关于企业生产  库存控制问题的研究主要是采用ＥＯＱ模型方法，如张旭梅等针对补货能力对部分短缺量拖后率的影响，建立了边补货变需求的ＥＯＱ模型［１３］。而将碳排放与生产运作结合起来开展研究的目前仅有２篇，杜少甫等以单个制造商为对象，研究了排放许可与碳交易机制对排放依赖性企业生产策略的影响，建立了企业生产优化模型，并得到了有排放限额下的最优生产策略［１４］；Ｄｕ等考虑了单一制造商单一排放许可供应商的限额与交易系统中的企业生产策略的制定模型［１５］。综上所述，国内外关于碳限额与碳交易约束下企业下生产  库存控制问题的研究可分为两类一类是通过扩展经典模型来研究新问题；另一类是将碳排放等环境约束作为参数，构建生产  库存系统新模型。已有文献主要针对单个产品，将碳限额与碳交易价格视为外生常量来考虑。基于此，本文特别考虑了碳限额与碳交易约束下多种原料补货问题和动态的碳交易价格对制造商生产  库存的影响。本文考虑多种原料订购、储存与生产过程中的碳排放，通过研究碳交易价格的变动对制造商生产数量、订货数量的影响，给出了碳限额与碳交易约束下制造商的最优生产  库存策略。１问题描述与假设１．１问题描述本文以具有多个生产基地的集产供销一体化的大型企业集团的生产  库存系统为研究对象，探讨碳排图１碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存系统图放限额与碳交易约束下制造商多种原材料订货数量及生产批量问题。假设每个基地生产一种产品，每种产品需要ｗ种原材料，一个供应商供应一种或多种原材料，基地（以下称为制造商）按原材料类型向供应商订货，每种原材料的订购量为其生产实际需求材料的 τ 倍（ τ ≥ １），可变排放并入固定排放中；库存系统采用（Ｑ，Ｒ）策略，需求率和生产率已知且恒定，不允许缺货，不考虑提前期影响。制造商在碳排放总量约束下运营，原材料购入、存储以及生产过程产生大量碳排放，排放总量与政府分配额度相比，可能结余或不足，差额部分在碳交易市场卖出或买入，碳交易价格受市场供求影响而波动，不同的交易价格进一步影响制造商的成本及运营策略，通过构建生产  库存成本模型，得出碳限额与碳交易约束下制造商最佳生产  库存策略（图１）。１．２假设条件本文基于以下的假设条件（１）排放限额由政府分配，设政府按 “ 祖父制 ” 原则分配给制造商碳排放总量为Ｌ，碳交易价格随市场２５运筹与管理２０１５年第２４卷供求波动；（２）初始库存水平为Ｑ，单位消耗斜率恒定为（－Ｄ），不允许缺货；（３）单位生产率Ｐ，恒定不变；（４）持有成本、库存排放与存货数量均为线性关系；生产成本、生产排放与生产数量线性相关；（５）制造商按原料类型向供应商订货，可变排放并入固定排放中，在不考虑车辆运输能力的假设条件之下，订货排放只与运输次数有关；（６）制造商采用整车运输原料，车辆运输能力无限，且运输费用、运输排放与订货倍数、生产数量相关。２模型的参数度量与构建２．１符号与变量定义（１）碳限额与碳交易机制参数处理。Ｌ政府分配给制造商的碳限额；Ｖ单位碳限额交易价格；Ｙ卖出或买入的碳限额（正表示卖出，负表示买入）；ＥＴ车辆运输排放；Ｅｗ库存排放；ＥＭ生产排放；Ｅｈ持有产成品的单位碳排放；Ｅｈ，ｗ持有原材料Ｗ的单位碳排放；Ｅｆ，ｗ每次运输原料ｗ的固定排放；Ｅｐ单位产品的生产排放。（２）生产  库存系统。ｗ原材料种类ｗ＝１，２，ｍ；ｒｗ每单位产品使用原材料ｗ的比率；Ｄ市场对制造商最终产品的年需求量；Ｐ制造商的年生产量（年生产能力）；Ｓ制造商每次生产启动成本；Ｃｏ，ｗ制造商订购一次原料ｗ的订货成本；Ｃｈ单位产品的库存持有成本；Ｃｈ，ｗ单位原材料ｗ的库存持有成本；Ｃｐ单位产品的生产成本。（３）决策变量。Ｑ产品的生产数量； τ 原材料Ｗ的订购倍数， τ ≥ １。２．２碳限额与碳交易的度量碳限额与碳交易是由政府与企业共同完成，也称总量管制交易。Ｋａｙａ恒等式是目前最常用的碳信用分配式，其将碳排放量与ＧＤＰ联系在一起，根据Ｋａｙａ恒等式可以得到某一国家或地区总的碳排放量［１６］，得第ｔ年ＣＯ２排放量为Ｅｔ＝ＧＤＰｔＩｔ＝ＧＤＰ（１＋ γ ）ｔＩ（１－ α ）（１）其中，Ｉｔ为第ｔ年单位ＧＤＰ的ＣＯ２排放量， γ 为经济年增长速度， α 为强度控制目标。依据式（１）得到碳排放总量后，政府再按企业生产能力分配给负有减排责任的企业。据此制造商可得到政府免费碳限额Ｌ，并在以下运营环节上产生碳排放（１）订货排放量订货排放主要是订购各种原材料ｗ运输过程发生的排放ＥＴ，根据Ｐａｌｍｅｒ的研究，车辆启动、空载时产生的排放可视为固定排放，而车辆载重、行驶距离等变化会影响可变排放浮动。前文假设每次订货都是整车运输，且车辆运输能力无限，所以可变排放部分也视为固定不变，将其与空载等排放合并，均为固定排放率Ｅｆ，ｗ，订购ｗ种原材料，每种材料订购数量为实际需求量的 τ 倍，根据文献９的研究，可得出每个周期时间内订货过程的排放总量为ＥＴ＝ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗＤ τ Ｑ（２）（２）库存排放量库存排放主要是持有原材料和产成品所发生的排放Ｅｗ，仓库中产成品的平均库存Ｑ２（１－ＤＰ），单位产成品的排放率为Ｅｈ；而原材料的平均库存水平为 ∑ ｍｗ＝１ｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１），单位排放率Ｅｈ，ｗ，存储过程产生碳排放总量Ｅｗ＝ＥｈＱ２（１－ＤＰ）＋ ∑ ｍｗ＝１Ｅｈ，ｗｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）（３）（３）生产排放量３５第３期戢守峰，等碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存控制策略生产过程同样会产生大量排放ＥＭ，文中只计算直接生产活动产生的排放，生产单位产品的排放率为ＥＰ，每个周期生产活动产生的排放总量为ＥＭ＝ＥＰＱ（４）（４）可交易碳限额可交易碳限额是指制造商全部碳排放与免费分配限额Ｌ之间的差额，此值可取正或负，表示如下Ｙ＝Ｌ－ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗＤ τ Ｑ－ＥｈＱ２（１－ＤＰ）－ ∑ ｍｗ＝１Ｅｈ，ｗｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）－ＥＰＱ（５）当Ｙ＞０，制造商的分配碳限额结余，碳交易活动能够增加制造商收益；相反，Ｙ＜０表示制造商超标准排放，为履行政府排放政策，需要在碳交易市场上购买碳限额Ｙ，由此影响制造商生产数量、订货水平及库存成本等决策变化。２．３模型构建前述分析碳排放限额与碳交易时，已给出产成品和原材料的平均库存量，分别为Ｑ２（１－ＤＰ）和 ∑ ｍｗ＝１ｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１），单位产品的库存持有成本是Ｃｈ，单位原材料ｗ的库存持有成本Ｃｈ，ｗ，由此可知库存持有总成本Ｃ（Ｑ， τ ）＝ＣｈＱ２（１－ＤＰ）＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｈ，ｗｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）（６）进而得出制造商总成本函数，ＴＣ０（Ｑ， τ ）＝ＳＤＱ＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗＤ τ Ｑ＋ＣｈＱ２（１－ＤＰ）＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｈ，ｗｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）＋ＣＰＱ（７）ＴＣ０（Ｑ， τ ）是无碳约束时制造商总成本，式中第一项是生产启动成本，第二项是原材料订货成本，第三项是产成品持有成本，第四项是原材料持有成本，第五项是生产成本，在引入碳排放限额与碳交易之后，制造商新的成本函数ＴＣ（Ｑ， τ ）表示如下ＴＣ（Ｑ， τ ）＝ＳＤＱ＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗＤ τ Ｑ＋ＣｈＱ２（１－ＤＰ）＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｈ，ｗｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）＋ＣＰＱ－ＶＹ（８）ｓ．ｔ．ＥＴ＋ＥＷ＋ＷＭ＋Ｙ＝Ｌ（９） ∑ ｍｗ＝１ｒｗ＝１（１０ { ）Ｓ，Ｃｏ，ｗ，Ｃｈ，Ｃｈ，ｗ，ｒｗ，Ｖ均大于０，Ｙ ∈ 任意整数。式（９）是上面式（５）的变形，将式（５）代入式（８）中，得出碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存成本模型ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）＝ＳＤＱ＋ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗＤ τ Ｑ＋（Ｃｈ＋ＶＥｈ）Ｑ２（１－ＤＰ）＋ ∑ ｍｗ＝１（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）ｒｗＱ（Ｄ２Ｐ＋ τ －１）＋（ＣＰ＋ＶＥＰ）Ｑ－ＶＬ（１１）当碳交易价格Ｖ＝０时，上述模型还原为式（７），即为经典ＥＯＱ成本模型。３模型分析３．１最优订货倍数与最优生产数量的导出分析上一部分建立了碳限额与碳交易约束下制造商的生产  库存成本模型，下面用数学分析方法验证所建立的模型是否存在最优解通过制造商生产  库存成本模型的单调性可以判定最优解的存在性，分析如下４５运筹与管理２０１５年第２４卷式（１１）的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵为Ｈ＝  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  Ｑ２  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  Ｑ  τ  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ  Ｑ  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ Œ Œ Œ Œ œ œ œ œ ２（１２）矩阵中各项二阶偏导数分别为  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  Ｑ２＝２ＳＤＱ３＋２Ｄ（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） τ Ｑ３，  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ ２＝２Ｄ（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） τ ３Ｑ  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ  Ｑ＝  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  Ｑ  τ ＝（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）Ｄ τ ２Ｑ２＋ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）设 Γ ＝  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  Ｑ２  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ ２－  ２ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）  τ  Ｑ２，则有 Γ ＝２ＳＤＱ３＋２Ｄ（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） τ Ｑ     Ł     ł ３２Ｄ（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） τ ３Ｑ－（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）Ｄ τ ２Ｑ２＋ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ    Ł    ł ）２＝４ＳＤ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） τ ３Ｑ４＋３Ｄ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）２ τ ４Ｑ４－２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）Ｄ τ ２Ｑ２ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）－ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）２＝４ τ ＳＤ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）＋３Ｄ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）２－２Ｄ τ ２Ｑ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）－ τ ４Ｑ４ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）２ τ ４Ｑ４（１３）令Ｑ２＝ μ ，将分子转化为 μ 的二次函数 Θ （ μ ），考察分子符号，则有 Θ （ μ ）＝－ τ ４ μ ２ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）２－２Ｄ τ ２ μ （ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）＋（４ τ Ｓ＋３）Ｄ２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）（１４）判别式如下 Δ ＝４Ｄ２ τ ４（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ） ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）２（ ∑ ｍｗ＝１Ｃ０，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）＋（４ τ Ｓ＋３）＞０函数存在两个实根，得出 μ １＝－Ｄ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）＋（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）＋（４ τ Ｓ＋３槡） τ ２ μ ２＝－Ｄ ∑ ｍｗ＝１ｒｗ（Ｃｈ，ｗ＋ＶＥｈ，ｗ）（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）－（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）（ ∑ ｍｗ＝１Ｃｏ，ｗ＋Ｖ ∑ ｍｗ＝１Ｅｆ，ｗ）＋（４ τ Ｓ＋３槡） τ            ２其中 μ １＜０（舍去）。对于  τ ＞０， μ ２＞０恒成立，所以  Ｑ＞０使式（１４）大于零，可以得出此时 Γ ＞０，由此判定Ｈ矩阵是正定矩阵，进一步得出碳限额与碳交易约束下制造商成本函数为严格凸函数，存在最优的（Ｑ  ， τ  ）点使总成本最低。明确生产  库存成本模型的单调性以后，可进一步得出制造商最优生产数量与最优订货倍数。再令式（１１）的一阶偏导数  ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）／  Ｑ＝０和  ｍｉｎＴＣ（Ｑ， τ ）／  τ ＝０，建立两个一阶偏导数的联立方程组，即５５第３期戢守峰，等碳限额与碳交易约束下制造商生产  库存控制策略

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