［ 收稿日期 ］ 2011 －05 －01［ 作者简介 ］ 詹翎皙 1990 － ， 女 ， 四川人 ， 主要从事金融数学方面的研究 ．2011 年 8 月 重庆文理学院学报 自然科学版 Aug. ， 2011第 30 卷 第 4 期 Journal of Chongqing University of Arts and Sciences Natural Science Edition Vol. 30 No. 4欧式期权定价模型探析詹翎皙 西交利物浦大学 ， 江苏 苏州 215123［ 摘 要 ］ 期权定价正受到广泛关注 ， 其中最有影响力的是 1973 年 Fisher Black 和 Myron Schol-es 提出的 Black － Scholes 期权定价模型 ． 该模型通过一系列的假设条件 ， 得出了资产价格 S 在时间 t 的函数的偏微分方程 ， 再通过对未知变量的转换 ， 求出了该偏微分方程的解 ， 即 Black －Scholes 期权定价公式 ， 此公式在现实中的应用不断地发展 ， 陆续出现了许多新的期权品种 ， 这促进了金融市场的繁荣和稳定 ． 鉴于我国金融衍生市场的发展尚处于初级阶段 ， 引入 Black －Scholes 期权定价模型的确是十分必要的 ．［ 关键词 ］ 欧式期权 ; Black － Scholes 期权定价模型 ; 偏微分方程 ; 金融衍生工具［ 中图分类号 ］ F830．91; O01 －0 ［ 文献标志码 ］ A ［ 文章编号 ］ 1673 －8012 2011 04 －0029 －04期权 option 是最基础也是很重要的一类金融衍生产品 financial derivatives ． 它主要分为欧式看涨期权 European call option 和欧式看跌期权 European put option ， 分别指在未来的某一规定的时间 expiry date ， 期权持有者能够以规定的价格 strike price 买入或卖出某一规定资产的合约 ． 期权的特殊性在于对于期权买方而言 ， 此合约是一项权利而不是义务 ; 而卖方则需承担潜在的义务 ， 即如果买方选择购买该期权 ， 卖方必须卖出 ． 正是由于这一特性 ， 使期权持有者能够规避风险 ， 期权因此受到广大投资者的欢迎 ． 然而 ， 由于期权价格和其他金融衍生产品的价格不同 ， 期权价格和其标的物呈现非线性的特征 ， 并且未到期的期权还需考虑时间价值 ， 这使期权的定价变得复杂和困难［ 1］． 期权定价的革命性进展是 Black －Scholes 期权定价模型 ， 它是 1973 年由 FisherBlack 和 Myron Scholes 提出的 ， 至今仍然运用在金融衍生工具分析家们的分析中［ 2］． 本文将主要对Black －Scholes 期权定价模型进行分析 ．1 Black － Scholes 之前的期权定价模型早在 1973 年以前 ， 许多经济学家就研究过期权定价的方法 ， 在不断地发展变化中 ， 期权定价方法得到完善 ， 虽然某些传统的方法已被取代 ， 但早期的工作对后来的进展也有着至关重要的作用 ．1900 年 ， 法国数学家路易巴舍利耶 LouisBachelier 发表了名为 投机理论 的博士论文［ 3 －4］， 他的研究建立在以下的假设条件下 股票价格变化遵循无漂移且每单位时间方差为 σ2的算术布朗运动［ 5］． 在此条件下 ， 他得出了看涨期权价格在到期日时的期望值公式 C S． t S － E S － Eσ槡 t σ槡t φS － Eσ槡 t．其中  和 φ 分别为标准积分正态和正态密度函数 ， C S． t 表示股票价格 S 在 t 时刻的期权价格 ， E 为执行价格 ． 这个模型存在股票价格可能为负及平均预期价格变化为零的缺陷 ， 并且缺乏对资金的时间价值的考虑［ 3］．1961 年 ， 斯普里克尔发展了巴舍利耶的研究 ， 他得出了发展后的看涨期权价格在到期日时的期望值公式 C S． t SertN d1 － 1 － π EN d2d1Ins E r 2zσ 2tσ槡t;d2ln sz r －2zσ 2tσ槡t d1－ σ槡t．92r 为股票预期收益率 ， π 为市场 “价格杠杆 ”的调节量 ． 这个模型也没有考虑资金的时间价值［ 3］．在此之后 ， 博恩斯 Boness 和萨缪尔森 Samulson 分别于 1964 年和 1965 年给出了看涨期权定价公式 ． 博恩斯 Boness 提出的公式为C S． t SN d1 － Ee－rtN d2 ，这与 Black － Scholes 期权定价公式基本相似 ， 唯一不同的是他使用的是股票的预期收益率而不是无风险利率 ; 萨缪尔森 Samulson 同样使用了股票的预期收益率 r， 并且将期权的期望收益率定为一个常数 β， 他得出的模型为C S． t Se r－β tN d1 － Ee－βtN d2 ．以上模型虽然存在自身的缺陷 ， 但这些模型是后期发展的基础 ． 下面将详细介绍为期权定价带来重大进展的 Black － Scholes 期权定价模型 ．2 Black － Scholes 期权定价模型2．1 假设条件B －S 期权定价模型建立在几个假设条件下［ 6］1 资产价格遵循对数正态随机游走 ;2 无风险利率 r 及波动率 σ2为已知常数 ;3 无交易成本 ， 无红利支付 ， 无套利机会 ;4 标的资产可以连续交易 ;5 允许卖空 ， 资产可以细分 ．2．2 B － S 偏微分方程的建立1 由于资产价格遵循对数正态随机游走 ， 我们可以用回报率 return 来衡量资产价格的变化 ． 我们假设 S 为资产在时间 t 的价格 ， 在一个很短的时间段 dt 内 ， S 变化为 S dS， 因此回报率为 dS/S， 它由以下两部分构成 ①μdt， 其中 μ 为平均增长率 ; ②σdX， 表示价格对外部影响的随机变化 ， 其中 dX 为正态分布样本 ． 由上我们可以得到随机微分方程 dS/S μdt σdx． 12 在实际中 ， 资产价格的报价是以不连续的时间间隔来进行的 ， 因此如果我们用 dt来计算期权价格 ， 会发现我们不得不面对大量的数据 ， 所以我们假设 dt→0， dX2→dt． 接下来 ， 假设 f S，t 为资产价格 S在时间 t的函数 ， 当 S 变化为 S dS， t 变化为 t dt 时 ， f S， t 变化为 f S， t df．根据泰勒级数展开式 ， 可以得到df fSdS ftdt 122fS2dS2 由于已知 dS Sμdt sσdX， 我们可以算出 dS2 S2μ2dt2 S2σ2dX2 2μσS2dXdt． 因为 dt→0，dX2→dt， 我们可以进一步得到 dXdt→0， dX2→0， 因此 dS2 S2σ2dt， 将此式与 1 式入 df 的泰勒级数展开式 ， 我们得到了伊藤定理的公式 df σSfSdS μSfSft12σ2S2 2fS2 dt ． 23 现在我们建立一个投资组合 ， 其价值表示为 π f － ΔS， 其中 f 为期权的价值 ， Δ 为持有的股数 ． 因此 ， dπ df － ΔdS， 将之前求得的 1式和 2 式带入 dπ， 得到 dπ fS－ Δ σSdX μSfSft12σ2S2 2fS2－ ΔμS dt．为了得到一个无风险的投资组合 ， 我们需要将上式中的 dX 消去 ， 因此 Δ f/S ， 由此可以得到dπ fS12σ2S2 2fS 2dt．由于无套利机会 ， π 的回报率应该为 rπdt， 因此rπdt fS12σ2S2 2fS 2dt．将 π f － ΔS 带入上式 ， 我们就得到了 B － S 偏微分方程ft12σ2S2 2fS2 rSfS－ rf 0．2．3 求解 B － S 偏微分方程基本思路 已知偏微分方程uτ2ux2的解为u x， τ 12 π槡τ∫∞－∞u0 S exp － x － s24τ ds，其中 u0 S u x， 0 ． 将 B － S 偏微分方程转化为uτ2ux2的形式 ， 即可得到其解 ．2．3．1 无风险利率为零为简化求解步骤 ， 首先假设无风险利率为零 ， 因此 B － S 偏微分方程变为 ft12σ2S2 2fS2 0． 3假设 S Eex， 因为x InS E→xS1S→fS1Sfx，2fS21S22fx2－f x，将以上结果代入 3 式得到 ft12σ2 2fx2－f x 0． 403假设 τ 12σ2 TE－ t ， 因为ft －12σ2 fτ， 将以上结果代入 4 式得 fτ2fx2－fx． 5假设 f eγxβτu x， τ ， 求出fτ，2fx2和fx， 代入 5 式可得 uτ2uX2ux 2γ － 1 u γ2－ γ － β ．因此 ， 当 γ 12， β －14时 ， 我们可以将B － S 偏微分方程转化为uτ2ux2的形式 ， 此时f e12x－14τu x， τ ．现在我们需要求出 u x， 0 ．假设 f 1EC， 其中 C max S － E， 0 ， 因此f max ex－ 1， 0 ， 由此可以得出 u x， 0 max ex2－ e－x2， 0 ．将 u x， 0 代入u x， τ 12 π槡τ∫∞－∞u0 S exp － x － s24τ ds，并假设 x S － x2槡τ， 可以得到 u x， τ 12槡π∫∞－x2槡τexp 2槡τx x2 2exp －12x 2dx －12槡π∫∞－x2槡τexp－ 2槡τx x2 2exp －12x 2dx．其中I112槡π∫∞－x2槡τexp 2槡τx x2 2exp －12x 2dx;I212槡π∫∞－x2槡τexp－ 2槡τx x2 2exp －12x 2dx．将 I1， I2简化 ， 我们得到 u x， τ e12x14τN d1 － e－12x14τN d2 ．其中 d1x2槡τ2槡τ2， d2x2槡τ－2槡τ2．由于已知 f e12x－14τu x， τ 和 f 1EC， 我们最终可以得到 C SN d1 － EN d2 ．2．3．2 无风险利率不等于零此时 B － S 偏微分方程为 ft12σ2S2 2fS2 γSfS－ γf 0．同样 ， 假设 S Eex， τ 12σ2 TE－ t ， f eγxβτu x， τ ， 我们可以得到 uτ2uX2 2γ k － 1uxγu－ kμ k － 1 γμ － βμ，其中 k 2γ/σ2．因此 ， 当 γ 12 1 － k ， β －14 k 12时 ， 我们可以将 B － S 偏微分方程转化为uτ2uX2的形式 ， 此时 f e12 1－k x－14 1k2τu x， τ ．为了求出 u x， 0 ， 假设 f 1EC， 可以得出 u x， 0 max ex 1k2－ ex k－12， 0 ．将 u x， 0 代入u x， τ 12 π槡τ∫∞－∞u0 S exp － x － s24 τds，并假设 x S － x2槡τ， 可以得到 I112槡π∫∞－x2槡τexp k － 1 2槡τx x 2exp －12x 2dx;I212槡π∫∞－x2槡τexp 1 k 2槡τx x 2exp －12x 2dx．通过假设 y x － 1 k 2槡τ2， 可将 I1简化为 I1 expτ 1 k2 2x 1 k 4N d1 ，其中 d1x2槡τ 1 k 2槡τ2．通过假设 y x － k － 1 2槡τ2， 可将 I2简化为 I2 expτ k － 12 2x k － 1 4N d2 ，其中 d2x2槡τ k － 1 2槡τ2．根据 C Ef， 我们最终可以得到 C SN d1 － Ee－r TE－tN d2 ．其中d1InS E r 12σ 2 TE－ tσ TE槡－ t;d2InS Eγ －12σ 2 TE－ tσ TE槡－ t13 d1－ σ TE槡－ t．这就是 Black － Scholes 期权定价公式 ．对于欧式看跌期权 ， 用相同的方法进行一系列假设 ， 可以得到 P Ee－r TE－tN － d2 － SN － d1 ．3 Black － Scholes 模型在实际中的运用3．1 模型能否推广到现实世界中在 B － S 模型的假设条件中 ， 我们假设无风险利率 r 为已知常数 ， 这意味着我们的研究是建立在风险中性条件下的 ． 根据威廉夏普的资产定价理论 ， 风险与收益成正比 ， 因此股票价格的预期收益率与风险也成正比 ， 这正好与对于认股权证损益所使用的贴现率的变化结果相抵消 ， 因此可以将模型推广到现实世界中［ 7］．3．2 在现实世界中的应用［ 8］3．2．1 对所交易的金融工具进行正确估值和定价B － S 期权定价公式对其他的金融工具 ， 如公司债券 、优先股和普通股 、可转换债券等的定价都提供了理论基础 ， 对于这些金融工具的正确定价能够促进证券市场的有效性的发展 ．3．2．2 期权品种的创新由于期权良好的规避风险的特性 ， 近 20 年来 ， 期权得到了广泛的发展和应用 ， 在此期间 ， 出现了许多新的期权品种 ， 如外汇期权 ， 指数期权 ，利率期权等 ， 这些新的金融衍生工具在风险分担 ， 降低成本方面发挥着日益重要的作用 ．4 结语以期权为代表的金融衍生工具在我国证券市场的应用还属于非常初级的阶段［ 9］． 通过对风险的对冲 ， 期权能够给投资者的收益和风险带来一定的保障 ． 不少经济学家也认为 ， 期权对于经济的波动有一定的稳定作为 ， 我国金融证券市场的发育尚不完全 ， 对期权定价模型的引入和应用是大有益处的［ 9］．［ 参考文献 ］［ 1］ 陈浩武 ， 唐元虎 ． 浅析期权定价理论 ［ J］ ． 技术经济与管理研究 ， 2003 4 23．［ 2］ 张宗成 ． 期权定价理论及其运用 ［ J］ ． 华中理工大学学报 社会科学版 ， 1999 3 89．［ 3］ 刘海龙 ， 吴冲锋 ． 期权定价方法综述 ［ J］ ． 管理科学学报 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several transations of un-known variables， namely the Black － Scholes ula． This model has been applied into the real world grad-ually， and many innovative kinds of options appear， which positively affect the prosperity and stability of fi-nancial market． Considering the initial phase of the development of the financial derivatives market inChina， it is essential to give some explanations of Black － Scholes option pricing model．Key words Europeanoption; Black － Scholes option pricing model; partial differential equation; financialderivatives 责任编辑 吴朝平 23