第9期瞿 慧,等考虑跳跃波动与符号跳跃的50ETF期权定价研究29 双曲分布下的GARCH模型,对看涨期权获得了较Black-Scholes模型和传统GARCH模型更小的定价误差。吴鑫育等[13]基于幂级数展开方法得到了非仿射随机波动率模型下欧式期权的近似定价公式,并运用卡尔曼滤波对上证50ETF高频价格中的微观结构噪声进行过滤,获得了比Black-Scholes模型更高的定价准确性。但目前尚未有研究将已实现波动率模型应用于50ETF期权的定价,也没有研究考虑到跳跃波动对期权定价的影响。此外,上述研究期权样本期都较短,缺乏对两年来50ETF期权完整价格数据的全面实证和分析。鉴于以上研究的不足,本文首次运用上证50ETF期权上市两年来完整价格数据,进行基于已实现波动率模型的期权定价研究。具体地,考虑到区分跳跃波动和连续波动对未来波动的贡献可以显著改善波动率预测Andersen等[14],孙洁[15],首先利用50ETF高频价格计算已实现波动并进一步区分为连续波动和跳跃波动。鉴于HARGPL模型对S同时用复合泊松过程对跳跃波动进行建模,其中随机跳跃大小服从伽马分布,从而构建HARGPL-J模型。进一步地,考虑到Patton和Sheppard[16]研究指出负跳跃导致未来显著更高的波动率,正跳跃导致较低的波动率,引入符号跳跃可以显著改善波动率预测,提出在连续波动模型中引入符号跳跃,从而构建SJ-HARGPL-J模型。此外,为了评价所构建的期权定价模型的有效性,将GARCH期权定价模型和不考虑跳跃的已实现波动率HARGPL模型作为基准。因此,本文采用50ETF期权上市起至2017年6月30日的合约数据进行实证,以期权价格均方根误差和隐含波动率均方根误差作为指标,比较使用高频数据的HARGPL模型相较于GARCH模型的定价表现,实证检验考虑跳跃波动的HARGPL-J模型相较于未考虑跳跃波动的HARGPL模型的定价能力提升,并进一步检验引入符号跳跃对期权定价性能的改进。期望通过使用较完整数据的实证,检验本文所提出的期权定价模型的准确性,为期权定价提供有效的思路和方法。期权定价模型1、HARGPL模型Majewski等[7]的HARGPL模型,假设资产的t日对数收益率Rt具有以下动态Rt rt λ - 12 RVt RVt εt 1其中,rt是t日无风险利率,λ是风险市场价格,εt是独立同分布的标准正态新息,RVt是t日的已实现波动率。假设RVt1具有非中心伽马分布RVt1 | Ft Γ δ,β RVt,Lt ,θ 2其中,Ft表示截止到t日的信息集,δ是形状参数,θ是尺度参数,β RVt,Lt 是位置参数,有如下预测模型β RVt,Lt βdRVdt βwRVwt βmRVmt αdldt αwlwt αmlmt 3这里,αi和βi均是待估计参数;RVt RVdt ,RVwt ,RVmt ′,其中,RVdt RVt,RVwt 14 ∑ 4i1RVt-i,RVmt 117∑ 21i5RVt-i,分别表示短期日、中期周和长期月的已实现波动率;Lt ldt ,lwt ,lmt ′,其中,日杠杆项ldt εt-γ RVt 2,周杠杆项lwt 14 ∑ 4i1ldt-i,月杠杆项lmt 117∑ 21i5ldt-i,γ是杠杆效应参数。2、HARGPL-J模型将已实现波动率区分为连续波动RVct和跳跃波动RVjt,则式1变形为如下t日对数收益率动态过程Rt rt λ - 12 RVct RVjt RVct RVjt εt 4假设连续波动服从非中心伽马分布,RVct1 |Ft Γ δ,β RVct,Lt ,θ ,位置参数β RVct,Lt 采用式3的模型形式进行预测,只需将回归量中的RV替换为RVc,且抛物型杠杆替换为ldt εt-γ RVct RVjt 2即可。跳跃波动则建模为复合泊松过程,其中泊松过程的强度为Θ􀮨 ,跳跃规模服从形状参数为δ、尺度参数为θ的伽马分布RVjt1 | Ft ∑ nt1i 1Yi, nt1 P Θ􀮨 , Yi i.i.d. Γ δ , θ 530 管理评论第31卷3、SJ-HARGPL-J模型在HARGPL-J模型的基础上,本文提出在连续波动模型中引入Patton和Sheppard[16]定义的符号跳跃,构建SJ-HARGPL-J模型,以更好地刻画波动率的期限结构。具体地,将预测连续波动伽马分布位置参数的式3扩展为β RVct,Lt,SJt βdRVc d t βwRVc w t βmRVc m t αdldt αwlwt αmlmt ϕjSJt 6其中,ϕj为待估计参数,SJt是符号跳跃,SJt RSt -RS-t ,这里的RSt和RS-t分别是由已实现波动分解得到的已实现正半差和已实现负半差Barndorff-Nielsen等[17] ,RSt ∑ Mi1r2t,iI rt,i0{ },RS-t ∑ Mi1r2t,iI rt,i 0,b,a ≥ 0 8其中,λ表示风险市场价格,σ2t是条件方差,ω、b和a均是待估计参数。5、测度转换上述模型都是在真实测度下进行参数估计,但期权的蒙特卡洛模拟定价要求在风险中性测度下对标的资产价格路径进行模拟。 Majewski等[7]证明了仅需对参数进行适当转换,即可确保风险中性测度下的对数收益动态仍然满足HARGPL模型,Alitab等[9]也证明了进行参数转换后,风险中性测度下的对数收益动态仍然满足HARGPL-J模型。同样地,本文也证明了只需对参数进行如下测度转换,即可确保在风险中性测度下,对数收益动态仍然满足SJ-HARGPL-J模型β∗d βd1 - θyc∗ , β∗w βw1 - θyc∗ , β∗m βm1 - θyc∗α∗d αd1 - θyc∗ , α∗w αw1 - θyc∗ , α∗m αm1 - θyc∗ϕ∗j φj1 - θyc∗ , θ∗ θ1 - θyc∗ , δ∗ δ, γ∗ γ λΘ􀮨 ∗ Θ􀮨1 - θyj∗ , δ ∗ δ, θ ∗ θ1 - θ yj∗,λ∗ - 0. 59其中,yc∗ -λ22 -vc18 ,yj∗ -λ22 -vj18 。 vc和vj是需要校准的参数,其校准将采用50ETF期权价格数据,在实证部分进行介绍。数据与模型估计1、数据处理采用2015年1月8日至2017年6月30日上证50ETF的1分钟高频收盘价格数据,数据来自万德金融数据库。去除掉由于熔断而导致数据缺失的2016年1月4日和2016年1月7日两日数据,共计602日,145684条数据记录。经过以下处理过程,得到最终所需连续波动和跳跃波动1使用Barndorff-Nielsen等[18]提出的已实现核估计量来计算总波动;2使用Andersen等[19]提出的已实现中值波动来初步估计连续波动;3基于Barndorff-Nielsen和Shephard[20]的BNS方法,利用已实现核估计量和已实现中值波动构建正态分布统计量,在99的置信水平下识别显著跳跃,得到跳跃波动并更新连续波动;4用200天滚动窗内的连续波动均值加上减去四倍标准差为阈值上界下界,将超过阈值的数据删第9期瞿 慧,等考虑跳跃波动与符号跳跃的50ETF期权定价研究31 除,以剔除波动跳跃引起的极端观测值共滤除8天,约1. 329的数据;5考虑到隔夜收益的影响,使用Hansen和Lunde[21]的比例缩放法对连续波动进行处理,构建覆盖全天24小时的完整连续波动。表1列示了调整前对数日收益率Rt、由连续波动RVct调整以及由完整波动RVct RVjt 调整的对数日收益率的描述性统计。 Q25和Q75分别表示第25和第75分位数,JB-p和SW-p分别表示进行Jarque-Bera和Shapiro-Wilk正态性检验的p值。从表1中可以看出,调整后的对数日收益率序列的Q25大于Rt的Q25,Q75小于Rt的Q75,说明调整后的对数日收益率序列分布更加集中,缓解了厚尾问题。调整前序列的偏度和峰度远离正态序列的偏度0和峰度3,而Rt / RVct的偏度和峰度分别为-0. 084和3. 159,Rt /RVct RVjt的偏度和峰度分别为-0. 053和2. 881,可见调整后的对数日收益率更加符合正态分布。此外,根据JB-p值和SW-p值也可看出,调整后的对数日收益率序列在两种检验下p值均大于0. 1,说明数据符合正态分布。进一步比较Rt / RVct和Rt / RVct RVjt的偏度、峰度、JB-p和SW-p值,可发现Rt / RVct RVjt更加接近正态分布。这说明式1和式4中残差服从条件正态分布的假设合理,同时也表明本文对已实现波动估计量的构建合理。表1 数据描述性统计Q25中值Q75均值标准差偏度峰度JB-p SW-pRt -0. 484 0. 042 0. 614 0. 054 1. 657 10. 980 10. 980 βwβm的规则,且显著度也依次降低。表明随着滞后长度的增加,过去波动对当前波动的影响程度在减小。2HARGPL模型和HARGPL-J模型的杠杆效应参数γ和日、周、月杠杆系数αd,αw,αm均显著为正。说明50ETF的波动存在显著的异质抛物型杠杆效应,利空消息比利好消息对未来波动的影响明显更大。3SJ-HARGPL-J模型的符号跳跃回归量系数φj显著为负。表明符号跳跃对波动预测有显著贡献,且具有显著负跳时未来波动明显更大。4SJ-HARGPL-J模型的日、周、月杠杆系数均显著为正,进一步说明了样本序列的波动存在显著的异质抛物型杠杆效应。然而,其杠杆效应参数γ并不显著,可能是因为SJ-HARGPL-J模型的符号跳跃估计量已经解释了部分杠杆效应,使抛物型杠杆效应参数的显著度受到影响。5比较HARGPL模型和HARGPL-J模型连续波动的对数似然函数值可知,考虑跳跃后连续波动模型的拟合性能有所改善,这主要是由于在构建抛物型杠杆时考虑了跳跃的影响。6比较HARGPL-J模型和SJ-HARGPL-J模型的对数似然函数值可知,引入符号跳跃可以进一步改进对连续波动的拟合性能。表2 各模型的极大似然估计结果参数λ- 12HARGPL HARGPL-J SJ-HARGPL-J3. 869e-333. 000∗ ∗ ∗ 4. 160e-336. 209∗ ∗ ∗δ 0. 1701. 88∗ 0. 1501. 669∗ 0. 1701. 873∗θ 1. 05620. 096∗ ∗ ∗ 1. 06119. 984∗ ∗ ∗ 1. 03122. 691∗ ∗ ∗βd 0. 45610. 538∗ ∗ ∗ 0. 45010. 198∗ ∗ ∗ 0. 49112. 358∗ ∗ ∗βw 0. 1914. 537∗ ∗ ∗ 0. 1834. 301∗ ∗ ∗ 0. 2245. 517∗ ∗ ∗βm 0. 00890. 207 0. 0020. 047 0. 0672. 136∗ ∗αd 1. 0464. 297∗ ∗ ∗ 1. 0574. 264∗ ∗ ∗ 0. 5871. 961∗αw 1. 0202. 664∗ ∗ ∗ 1. 1032. 804∗ ∗ ∗ 1. 2032. 042∗ ∗αm 1. 6343. 162∗ ∗ ∗ 1. 6773. 135∗ ∗ ∗ 2. 1203. 033∗ ∗ ∗φj -1. 208-8. 102∗ ∗ ∗γ 0. 1603. 663∗ ∗ ∗ 0. 1693. 688∗ ∗ ∗ 0. 0330. 538δ 1. 0616. 762∗ ∗ ∗ 1. 0616. 762∗ ∗ ∗θ 3. 3625. 436∗ ∗ ∗ 3. 3625. 436∗ ∗ ∗Θ 0. 1528. 997∗ ∗ ∗ 0. 1528. 997∗ ∗ ∗vc,vj -0. 003 0. 072, 0. 355 -0. 014,0. 052对数似然函数值连续波动- 1471. 213 -1470. 379 -1440. 145跳跃波动-423. 768 -423. 768GARCHλ- 12 0. 7450. 310ω 6. 22e-72. 697∗ ∗ ∗b 0. 938184. 370∗ ∗ ∗a 0. 0598. 285∗ ∗ ∗对数似然函数值1702. 941注小括号里的值为系数的t值;∗ 、∗ ∗和∗ ∗ ∗分别表示系数在10、5和1的显著性水平下显著。期权定价1、期权描述使用2015年2月9日至2017年6月30日上证50ETF期权的已到期期权数据,数据来自万德金融数据第9期瞿 慧,等考虑跳跃波动与符号跳跃的50ETF期权定价研究33 库。选取流动性较大的虚值期权和平价期权进行实证。具体地,令行权价与标的价格的比值m作为货币性的测度,则m≦ 0. 9的看跌期权和1. 1 m的看涨期权为深度虚值,0. 9 m≦ 0. 98的看跌期权和1. 02 m≦1. 1的看涨期权为虚值;0. 98 m≦ 1. 02的看涨和看跌期权均为平价期权。进一步地,去除到期时长τ不足10天,隐含波动率大于70的期权。过滤后共有29638个数据记录,其中看涨期权有14311个,占48. 286;看跌期权有15327个,占51. 714。表3列出了根据到期时长和货币性将期权分类后,各个分类下由Black-Scholes公式计算得到的市场隐含波动率均值。可看出不同到期时长期权的隐含波动率均有着明显的波动率微笑现象。表3 期权市场隐含波动率均值的分类比较货币性m到期时长ττ≦ 50短期 50τ≦ 90短中期 90τ≦ 160中长期 160τ长期m≦ 0. 9看跌 0. 434 0. 396 0. 405 0. 3130. 9 m≦ 0. 98看跌 0. 253 0. 245 0. 235 0. 2540. 98 m≦ 1. 02看涨IVmkti和IVmodi分别表示第i条期权的市场隐含波动率和模型隐含波动率。表4展示了各模型对所有期权的整体定价表现。数据部分的第一行和第二行分别给出GARCH模型和基准HARGPL模型的两种误差函数值,第三行给出考虑跳跃波动的HARGPL-J模型相对于基准HARGPL模型的表现损失函数值之比,第四行给出进一步引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型相对于仅考虑跳跃波动的HARGPL-J模型的表现。损失函数值之比小于1时表明改进模型更优。34 管理评论第31卷表4 各模型的整体定价误差比较模型RMSEP RMSEIVGARCH 0. 048 22. 585HARGPL 0. 022 11. 878HARGPL-J/ HARGPL 0. 936 0. 933SJ-HARGPL/ HARGPL-J 0. 944 0. 946对表4进行观察,发现1基于高频数据的HARGPL类模型的价格均方根误差和隐含波动率均方根误差都远小于传统的GARCH模型。 2考虑跳跃波动的HARGPL-J模型较未考虑跳跃波动的HARGPL模型有更好的定价表现,HARGPL-J模型较HARGPL模型在RMSEP和RMSEIV方面分别改进了6. 4和6. 7。3在考虑跳跃波动情况下,进一步引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型的定价表现更优,较HARGPL-J模型在RMSEP和RMSEIV方面分别改进了5. 6和5. 4,较HARGPL模型在RMSEP和RMSEIV方面分别改进了11. 6和11. 7。进一步地,根据到期时长和货币性将期权分为不同的类别,表5中给出了对各类期权定价误差的分类比较。具体地,面板I表示价格均方根误差RMSEP,面板II表示隐含波动率均方根误差RMSEIV。每个面板分为四个子面板,子面板i和ii分别给出了GARCH模型和HARGPL模型对不同分类期权进行定价的误差,子面板iii给出了考虑跳跃波动的HARGPL-J模型与HARGPL模型的定价误差比值,子面板iv给出了引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型与HARGPL-J模型的定价误差比值。表5 各模型对期权定价误差的分类比较货币性mI价格均方根误差RMSEP II隐含波动率均方根误差RMSEIV到期时间到期时间τ≦ 50 50τ≦ 90 90τ≦ 160 160τ τ≦ 50 50τ≦ 90 90τ≦ 160 160τiGARCH模型的RMSEP iGARCH模型的RMSEIVm≦ 0. 9 0. 034 0. 033 0. 066 0. 065 24. 490 26. 331 33. 581 29. 9410. 9m≦ 0. 98 0. 045 0. 040 0. 060 0. 068 17. 666 20. 187 18. 934 25. 3380. 98m≦ 1. 02 0. 050 0. 048 0. 057 0. 066 25. 075 23. 133 20. 160 22. 3761. 02 m≦ 1. 1 0. 041 0. 039 0. 044 0. 052 24. 576 19. 874 19. 342 18. 1531. 1 m 0. 024 0. 021 0. 030 0. 049 25. 030 15. 590 15. 411 19. 338iiHARGPL模型的RMSEP iiHARGPL模型的RMSEIVm≦ 0. 9 0. 005 0. 016 0. 035 0. 046 8. 547 13. 433 23. 099 21. 6310. 9 m≦ 0. 98 0. 010 0. 018 0. 032 0. 046 9. 821 11. 868 15. 430 17. 3100. 98 m≦ 1. 02 0. 012 0. 017 0. 023 0. 034 9. 463 9. 917 9. 871 12. 0071. 02 m≦ 1. 1 0. 009 0. 012 0. 011 0. 018 8. 585 7. 445 5. 073 6. 4111. 1 m 0. 007 0. 008 0. 009 0. 019 11. 056 7. 863 5. 844 7. 595iiiHARGPL-J/ HARGPL价格误差iiiHARGPL-J / HARGPL隐含波动率误差m≦ 0. 9 0. 900 0. 907 0. 906 0. 950 0. 938 0. 921 0. 913 0. 9530. 9 m≦ 0. 98 0. 908 0. 930 0. 930 0. 953 0. 908 0. 932 0. 932 0. 9230. 98 m≦ 1. 02 0. 918 0. 929 0. 885 0. 936 0. 918 0. 928 0. 886 0. 9361. 02 m≦ 1. 1 0. 920 0. 938 0. 868 0. 970 0. 911 0. 937 0. 871 0. 9711. 1 m 0. 909 0. 925 0. 929 0. 951 0. 949 1. 001 0. 981 0. 951ivSJ- HARGPL-J / HARGPL-J价格误差ivSJ- HARGPL-J / HARGPL-J隐含波动率误差m≦ 0. 9 0. 917 0. 914 0. 920 0. 937 0. 945 0. 920 0. 927 0. 9360. 9m≦ 0. 98 0. 957 0. 945 0. 940 0. 930 0. 981 0. 962 0. 946 0. 9290. 98m≦ 1. 02 1. 007 0. 984 0. 993 0. 981 1. 011 0. 988 0. 992 0. 9891. 02m≦ 1. 1 0. 972 0. 979 0. 986 0. 991 0. 981 1. 001 1. 001 0. 9841. 1m 0. 960 1. 007 0. 909 0. 973 0. 944 0. 967 0. 977 0. 970从表5的子面板i和子面板ii可以看出,对于每一种类别的期权,HARGPL模型均可以获得比GARCH模型小得多的RMSEP和RMSEIV,表明HARGPL模型相较于传统的GARCH模型,可以对50ETF期权第9期瞿 慧,等考虑跳跃波动与符号跳跃的50ETF期权定价研究35 进行更有效的定价。从面板I子面板iiHARGPL模型的RMSEP可以看出,对于具有相同货币性的期权,到期时长小于50天的短期期权有最小的RMSEP,RMSEP随着到期时长的增大而增大。表5的子面板iii表明,不论考虑RMSEP还是RMSEIV,HARGPL-J模型几乎都比HARGPL模型有更小的定价误差,即考虑跳跃波动可以改进HARGPL模型的定价效果。其中,对中长期90τ≦ 160的平价期权和虚值看涨期权均获得了大于10的明显改进,如对中长期的虚值看涨期权在RMSEP和RMSEIV方面分别改进了13. 2和12. 9。此外,短期期权τ≦ 50和短中期期权50τ≦ 90定价误差的改进总体上大于长期期权160τ定价误差的改进。从表5的子面板iv可以看到,SJ-HARGPL-J模型对深度虚值看跌期权和虚值看跌期权的定价明显优于HARGPL-J模型RMSEP比值介于0. 914和0. 957之间, RMSEIV比值介于0. 920和0. 981之间。对于平价期权和虚值看涨期权,两模型的定价表现相当,保持相近的定价能力。对深度虚值看涨期权来说,引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型相较于HARGPL-J模型总体上也有更优的定价表现。综合来看,与仅考虑跳跃波动的HARGPL-J模型相比,进一步引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型有着更优的期权定价表现。结 语本文利用上证50ETF高频数据计算得到已实现波动率,构建HARGPL期权定价模型。进一步地,将已实现波动区分为连续波动和跳跃波动,为连续波动和跳跃波动分别建模,构建考虑跳跃波动的HARGPL-J期权定价模型。在此基础上,在连续波动模型中引入符号跳跃,提出SJ-HARGPL-J期权定价模型。在真实测度下估计出各模型参数,转换为风险中性测度下的参数,使用蒙特卡洛模拟法对50ETF期权进行定价。分别以期权价格均方根误差和隐含波动率均方根误差作为指标,比较各模型的定价性能。对所有期权的整体定价结果表明已实现波动的HARGPL模型比传统的GARCH模型定价效率更高,考虑跳跃波动的HARGPL-J模型可以进一步减小定价误差,在此基础上引入符号跳跃可以获得最优的50ETF期权定价表现。进一步将期权按照货币性和到期时长的不同进行划分,从期权分类定价结果可以看出,基于高频数据的HARGPL类模型对各类别期权的定价都明显优于传统GARCH模型;相对于未考虑跳跃波动的HARGPL模型,考虑跳跃波动的HARGPL-J模型对不同种类的期权定价性能改进程度不同,但都较为明显;引入符号跳跃的SJ-HARGPL-J模型对深度虚值看跌期权和虚值看跌期权的定价性能改进明显,对平价期权和虚值看涨期权改进效果相对较小。综合而言,将已实现波动率模型应用于50ETF期权定价,可以提升定价能力,考虑跳跃波动可以显著改进50ETF期权的定价表现,在此基础上引入符号跳跃可以进一步减小定价误差。本文的研究表明,已实现波动率模型对50ETF期权有较好的定价能力,跳跃波动和符号跳跃在期权定价中扮演非常重要的角色。本文的研究可以应用在期权定价、风险管理和套期保值等领域,为50ETF期权的投资者和监管机构提供帮助,有利于促进我国期权市场的稳步发展。参考文献[1] Duan J. 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The parameter estimates are mapped from physical measure to risk-neutralmeasure, which are then used in the Monte Carlo simulations for option pricing. Experiments with the 50ETF option data from February9, 2015 to June 30, 2017 show that, under the option price root mean square error and the implied volatility root mean square error, thehigh-frequency based models all have better option pricing perance than the GARCH model, modeling the jump volatility can im-prove option pricing, and the best option pricing perance is obtained by further including the singed jumps.Key words option pricing, high-frequency data, jump volatility, signed jump, Monte Carlo simulation